वैदिक गणित, भाग -३, निखिलंसूत्र और ऊर्ध्वतिर्यग्भाम Vedic Mathematics - Multiplication using Nikhilam-Sutra And Urdhvatiryagbhyam Sutra

वैदिक गणित के पिछले अंक:
वैदिक गणित की एक नई श्रूंख्ला - भाग एक Vedic Mathematics Series - Learn Un-Conventional ways of Multiplication Division

वैदिक गणित की श्रृंखला, भाग-दो ऊर्ध्वतिर्यग्भ्याम का एक उदाहरण Learning Unconventional Methods - Vedic Mathematics Part -2

वैदिक गणित के पहले दो अंकों में हमने जाना कि कितनी सरलता से हम बड़े अंकों का गुणा (Multiply) कर सकते हैं। हमने उन Theorems की लिस्ट भी देखी जिनकी सहायता से हम बड़ी से बड़ी कैलकुलेशन भी सेकंड में कर सकेंगे। वेद ज्ञान का सागर है और इसी सागर की एक बूँद है वैदिक गणित। वैदिक गणित के सोलह सूत्रों को जानने की कोशिश जारी रहेगी।

आज इस अथाह सागर की एक बूँद से लेकर आये हैं Multiplication के ही कुछ Shortcuts. इसमें निखिलंसूत्र और ऊर्ध्वतिर्यग्भाम की सहायता से हम Shortcuts को समझेंगे।

निखिलंसूत्रं के कुछ टिप्स :

मान लीजिये आपने 7 का square निकालना है:

चूँकि 7 के लिये 10 को Base माना जायेगा अत: 10 में से 7 जितना कम होगा उसे 7 से उतना ही घटायेंगे.. उदाहरण से समझ आ जायेगा।

(7 - 3)/(3*3) = 4/9 = 49
6^2 = (6-4)/(4*4) = 2/16=(2+1)/6  = 36
8^2 = (8-2)/(2*2) = 6/4 = 64


12^2 = (12 + 2)/(2*2) = 14/4 = 144
14^2 = (14+4)/(4*4) = 18/16 = (18 + 1) / 6 = 196

इन सभी उदाहरणों में क्योंकि 10 को base माना गया है इसलिये "/" के दाईं और एक ही अंक आयेगा और दाईं संख्या में जो अंक दहाई का होगा यानि 10th place का होगा उसको बाईं संख्या में जोड़ दिया जाता है।

19^2 = (19 + 9 )/ (9 * 9 )= 28/81 = (28 + 8) /1 = 361

आगे जानते हैं एकादिकेन पूर्वेण की सहायता से 5 पर समाप्त होने वाली किसी भी संख्या का Square कैसे निकाला जाता है:
करना केवल इतना है कि "/" के बाद के अंक हमेशा 25 रहेंगे और इसके पहले के अंक के लिये 5 से पहले जो संख्या है उसमें एक जोड़ कर उसी संख्या से Multiply करना होगा।
15 के लिये 1 को 2 से और 65 के लिये 6 को 7 से।


15 ^ 2 = (1 * 2) / 25 = 225
25 ^ 2 = (2 * 3)/25 = 625
35 ^ 2 = (3 * 4) / 25 = 1225
75 ^ 2 = (7 * 8)/25 = 5625

135 ^ 2 = (13 * 14)/25 = 182/25 = 18225
195 ^ 2 = (19 * 20)/25 = 38025


इसी तरह हम उन संख्याओं को भी Multiply कर सकते हैं जिनके आखिरी के अंकों का जोड़ 10 बनता है और पहले का अंक बराब्रर है। जैसे:

27 * 23 | इसमें 7 + 3 = 10 और पहला अंक 2 ही है। इसलिये:
(2 * 3)/ (7 * 3) = 6 / 21 = 621

96 * 94 = (9 * 10)/(6 * 4) = 90/24 = 9024
98 * 92 = (9 * 10) / (8 * 2) = 9016
87 * 83 = (8 * 9) / (7 * 3) = 72/21 = 7221
114 * 116 = (11 * 12 )/ (4 * 6) = 132/24



ऊर्ध्वत्रियाक सूत्रं

10th place के दोनों अंकों को गुणा करें, (Top-Left * Right-Bottom) + (Bottom-Left * Top-Right) और दोनों संख्याओं के आखिरी अंकों को गुणा करें एवं कुछ इस प्रकार लिखें:

12
11
_________
1 : 1 + 2 : 2 = 1:3:2 = 132


21
14
____________
2 : 8 + 1 : 4  = 2 : 9 : 4 = 294


37
33
___________________

9 : 9 + 21 : 21 = 9  : 30 : 21
यहाँ हमें बीच चाली संख्या का 10th place का अंक सबसे पहली वाली संख्या में जोड़ना है और इसी तरह सबसे दाईं ओर वाली संख्या का अंक बीच वाले में जोड़ना है।
9 : 30 : 21 = 9 + 3 : 0 + 2 : 1 = 1221

73
76
___________________
49 : 42 + 21 : 18 = 49 : 63 : 18 = 56:4:8 = 5548

बड़ी संख्या के Multiplication का हल केवल चंद सेकंड में!!!

इसके पीछे की Algebraic Equation:
(ax^2 + bx + c) by (dx^2 + ex + f)

= adx^4 + (ae + bd)x^3 + (af + be + cd )x^2 + (bf + ce)x + cf for x = 10

109
111
_____________________________________
1 : 1 : 10 : 9 : 9 = 1 : 2 :0 :9 :9 = 12099

582
231
___________________________________
10 : 15 + 16 : 5 + 24 + 4 : 8 + 6 : 2
= 10 :31:33:14:2 = 13:4:4:4:2 = 134442

785
362
__________________________________________
21 : 42 + 24 : 14 + 48 + 15 : 16 + 30 : 10
= 21 : 66 : 77 :46 : 10 = 28:4:1:7:0 = 284170


अगलें अंक में हम जानेंगे कि बड़े बड़े rectangle (चतुर्भुज) का क्षेत्रफ़ल (Area) कैसे निकालें। Sq. ft and Sq. inches will be calculated without calculator :-)
और हम जानेंगे निखिलं सूत्रं के द्वारा किस तरह Division किया जा सकता है।


आपको यह प्रयास कैसा लगा कृपया टिप्पणी अवश्य करें।

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